در این مقاله روشی برای محاسبه ی سینوس زوایای دلخواه ارائه می شود که به کمک آن می توان سایر نسبت های مثلثاتی را نیز به دست آورد .


 

سینوس یک زاویه حاده چیست؟در مثلث قائم الزاویه سینوس زاویه حاده برابر است با:نسبت ضلع رو به رو به این زاویه،بر وتر.
یک روش محاسبه برای زاویه های خیلی کوچک این است که نسبت قوس را به شعاع حساب کنیم.
مثلا" برای زاویه 1 درجه داریم:(شکل 1)  

که قوس است.و در آن ...14159/3= است.و AB=R .

پس : .

و به همین ترتیب می توان به دست آورد:

حال اگر سینوس 30 درجه را با روش فوق محاسبه کنیم ، عدد 524/0 را به جای 500/0 به دست می آوریم که خطای حاصل یعنی قریب 5% خواهد بود و این بیش از اندازه زیاد است. برای این که بتوانیم مرزی برای روش فوق پیدا کنیم سینوس زاویه 15درجه را با دقت محاسبه می کنیم:

با توجه به شکل 2 داریم:  
 

شکل2

BC را به اندازه ی خودش تا نقطه ی D امتداد می دهیم و سپس D را به A وصل می کنیم. در این صورت دو مثلث مساوی ADC و ABC و زاویه BAD مساوی 30درجه به دست می آید. عمود BE را بر AD فرود می آوریم ؛ مثلث قائم الزاویه BAE بازاویه 30 درجه(زاویه BAE ) به دست می آیدو بنابراین =BE می شود.
حال AE را از مثلث ABE طبق رابطه ی فیثاغورث به دست می آوریم:

حال در مثلث BED طول BD را محاسبه می کنیم:

اگر به سه رقم اعشار اکتفا کرده باشیم ، این عدد، همان عددی است که در جدول ها برای 15 Sin ضبط شده است.

حالا اگر مقدار را با روش نسبت قوس بر شعاع محاسبه کنیم به عدد 262 /0 می رسیم:با مقایسه دو عدد 262/0و259/0 می بینیم که اگر هر دو را تا دو رقم اعشار گرد کنیم به عدد 26/0 می رسیم . خطای حاصل از تبدیل مقدار دقیق تر 259/0 به 26/0 مساوی ،یعنی قریب4/0% است. که این مقدار خطا برای محاسبه های عادی مانعی ندارد.

برای زاویه های بین 15 درجه و 30 درجه می توانیم از تناسب استفاده کنیم .به این ترتیب استدلال می کنیم که اختلاف بین 30 Sin و 15 Sin برابر است با :

با اضافه شدن یک درجه به زاویه،سینوس آن به اندازه این اختلاف، یعنی به اندازه زیاد می شود. خطای این روش است که در محاسبات تقریبی خود از آن صرف نظر می کنیم .

به این ترتیب با اضافه کردن 016/ 0به سینوس 15 درجه به طور متوالی سینوس زاویه های 16، 17درجه و غیره به دست می آید:
 

.

.

.

به همین ترتیب می توان سینوس زاویه های بین 30 و 45 درجه را محاسبه نمود.

اگر این مقدار را مرتبا" به سینوس 30 درجه اضافه کنیم به دست می آید:
 

.

.

.

حال به محاسبه ی سینوس زاویه ی حاده ی بزرگ تر از 45 درجه می پردازیم:
برای این منظور می توان از قضیه ی فیثاغورث استفاده کرد.
فرض می کنیم که بخوا هیم سینوس زاویه 53 درجه را محاسبه کنیم:
باید نسبت را به دست آوریم.(شکل3 )

 

شکل3

چون37=B درجه است،پس می توان سینوس آن را به روش قبل محا سبه کرد:

از طرفی داریم :  

بنا بر این:     و لذا داریم :